"; print_r( $_GET ); print ""; ?>
1) ページがロードされてからタグを変換するようなので、SCRIPT タグはどこで書いても良いようです。
2) 日付フォーマットが、見た目と内部では違うので、userId で取得できるように書きました。
3) FORM で送る場合は、name 属性が使用されます。
4) 初期値は value 属性ですが、日付の初期値が正しくセットされているとロード時にonValueChanged
   が発生するので、そこで userId を使用して readonly にする事が可能です。
<FORM>
<div 
	id="userId"
	widgetid="dojoId"
	name="formId"
	dojoType="DropdownDatePicker"
	value="<?= $_GET['formId'] ?>"
	weekStartsOn="0"
	onValueChanged='alert("onValueChanged")'
	onInputChange='alert("onInputChange")'
></div>
&nbsp;
<INPUT type="button" value="表示" onClick='getValue();'>
&nbsp;
<INPUT type="button" value="disable" onClick='disableControl();'>
&nbsp;
<INPUT type="button" value="enable" onClick='enableControl();'>
<br>

<div
	dojoType="dropdowndatePicker"
	name="date"
	value="<?= $_GET['date'] ?>"
	weekStartsOn="0"
></div>
&nbsp;
<INPUT type="submit" value="送信">
</FORM>

<script type="text/javascript" src="http://lightbox.on.coocan.jp/dojo/dojo.js"></script>
<script type="text/javascript">
	dojo.require("dojo.widget.*");
	function getValue() {
		var obj = document.getElementById("userId");
		var nodes = obj.getElementsByTagName("INPUT");
		alert( nodes[1].value );
		alert(dojo.widget.byId("dojoId").getValue());
	}
	function disableControl() {
		dojo.widget.byId("dojoId").disable();
	}
	function enableControl() {
		dojo.widget.byId("dojoId").enable();
	}

</script>

<?

print "<PRE>";
print_r( $_GET );
print "</PRE>";

?>